[비센의 재미있는 과학 이야기]

 

작곡에 수학 공식 적용하면 멋진 작품 만들 수 있어 - 모짜르트, 그 이치 깨달아

 

“Music is the pleasure the human mind experiences from counting without being aware that it is counting.”<“음악은 수를 세고 있는 것을 인식하지 못한 채로 수는 세는 것으로부터 인간이 경험할 수 있는 즐거움이다.”>

 

이는 미적분학을 발견한 것으로 유명한 독일의 수학자 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)가 음악에 대해 내린 흥미로운 정의입니다. 일반적으로 수학은 재미없고 무미건조하게 느껴지는 반면, 음악은 인간의 감정을 표현해 내는 아름다운 예술로 가장 상반된 것으로 보일 수 있지만, 음악이야말로 수학의 아름다움을 느낄 수 있는 최고의 도구로 볼 수 있다는 것입니다.

 

아름다운 음악이나 시끄러운 불협화음이나 당연히 소리로 이루어져 있습니다. 같은 소리로 이루어져 있으면서 시끄러운 소음이 아닌 가슴을 울리는 아름다운 선율이 될 수 있는 것은 음악을 이루는 소리들은 화음(Chord)로 이루어져 있기 때문이며, 이 화음이라는 것이 바로 일정 간격을 갖고 있는 음들의 조합이니 근본적으로 음악과 수학은 밀접한 관계를 갖을 수 밖에 없다는 것을 어쩌면 쉽게 이해할 수 있습니다.

 

실제 음악을 이러한 수학적 구조로 이해하려 한 것은 매우 오래된 연구 분야이며 기록상 가장 먼저 음계를 수학적으로 설명하고자 했던 사람은 바로 ‘피타고라스의 정리’로 유명한 그리스의 철학자 피타고라스(Pythagoras, BC 580경 – BC500경)입니다. 피타고라스는 이 우주의 기본은 모두 수학적 체계로 이루어져 있다고 믿었으며, 그것을 가장 잘 보여주는 예가 바로 음악이라고 생각했습니다.

 

그는 실제 하프를 연주하면서 하프의 줄의 길이가 정확하게 반으로 줄어들었을 때 동일한 음이 한 옥타브 올라간다는 것, 그리고 하프의 줄의 길이가 단순한 정수배로 나타날 수록 아름답게 들리는 화음을 만들어 낸 다는 것을 알아냄으로써, 현대음악에서 이야기하는 완전4도(도와 파음의 화음, 4:3비율), 완전5도(도와 솔음의 화음, 3:2 비율), 완전8도(한 옥타브차이의 동일음, 2:1비율) 등이 왜 사람의 귀에 가장 아름답고 편안하게 들리는 화음이 되는지를 수학적으로 설명한 것입니다.

 

이러한 비율은 여러가지 악기의 형태에서도 찾아볼 수 있는데, 그 예로 하프시코드(harpsichord)라는 악기의 형태를 들어보도록 하겠습니다. 하프시코드는 독일어로 쳄발로(cembalo)라고도 불리며 피아노의 전신에 해당하는 건반악기로 지금의 그랜드 피아노와 비슷한 형태를 갖고 있습니다. 현재의 피아노는 현을 드럼으로 때려서 소리를 내는 것과 달리 하프시코드는 픽(또는 플렉트럼, plectrum)이라  불리는 장치를 이용해서 기타와 같이 현을 뜯어서 소리를 냅니다. 이 때 그랜드 피아노와 같이 뒤쪽으로 길게 나온 부분 내부에 서로 다른 길이의 현이 있어서 길이에 따라 다른 음의 소리를 낼 수 있게 되는데, 한 옥타브 차이가 나는 동일음 중 낮은 음을 내는 현이 높은 음의 현보다 정확하게 두배 긴 길이를 갖는 구조를 갖고 있습니다.

 

실제 표준형의 하프시코드는 4 옥타브의 건반을 갖고 있으며 가장 높은 도음을 내는 현의 길이를 L이라고 한다면 한 옥타브 아래의 도는 2L, 그 아래 옥타브의 도는 4L, 그리고 그 다음의 낮은 도음을 내는 현은 8L의 길이를 갖음으로써, 줄의 길이가 수학의 지수함수 형태로 길어지고, 그 영향으로 하프시코드의 뒷부분이 지수함수 형태의 곡선 모양을 갖고 있습니다.

 

이 형태가 그랜드 피아노의 뒷모습과 비슷한데, 피아노의 경우는 보통 8옥타브의 소리를 내기 때문에 단지 현의 길이만으로 옥타브 차이를 만들려면 가장 긴 현이 10미터를 넘어가야 하므로, 길이 뿐만 아니라 현의 굵기 또는 재질을 다르게 해서 그 소리의 차이를 만들어 내는 방법을 사용하기에 모든 현의 줄의 길이가 정확하게 지수함수를 따라가지는 않습니다.

 

요즘은 컴퓨터 소프트웨어뿐만 아니라 스마트폰의 앱을 이용해서도 간단한 수준의 작곡을 가능하게 해주는 작곡 프로그램들이 있습니다. 이러한 프로그램은 음악을 잘 모르는 초보자들도 간단한 조작만으로도 괜찮은 음악을 작곡하는 것이 가능하게 도와주고 있습니다.

 

이 프로그램들은 여러가지 수학식에 의해 이미 만들어져 있는 코드들을 연결시키는 방식으로 이 역시 음악의 코드가 수학에 그 기본을 두고 있기에 가능한 것들입니다. 이러한 작곡방식을 ‘알고리즘 작곡’이라고 부르는데, 사실 이러한 작곡법으로 유명한 작곡자가 바로 천재적 작곡가 모차르트(Wolfgang Amadeus Mozart, 1756-1791)입니다. 모차르트는 미뉴에트에 사용이 가능한 176개(11x16)개 마디를 미리 작곡에 놓고서 11행 16렬로 이루어진 표에 마치 빙고게임을 하듯이 176개의 마디 번호를 적어 놓고서 두개의 주사위를 열여섯번 던져서 나온 두 주사위의 합을 이용해서 선택된 마디들을 연결하여 미뉴에트를 만들었다고 합니다.

 

이렇게 무작위적으로 만들어지는 것처럼 보이는 방법으로도 아름다운 음악이 만들어질 수 밖에 없는 것이 바로 모든 마디들이 수학적 연계성을 갖고 있기 때문인 것입니다. 모차르트의 주사위 작곡법의 더욱 더 대단한 이유는 176개의 마디를 이용하여 만들어 낼 수 있는 16마디의 음악의 개수가 무려 11의 16승, 즉 45,949,729,863,572,161가지나 된다는 것입니다. 브루마블판과 같이 만들어진 모차르트의 표를 갖고 주사위만 던질 수 있다면 어린 꼬마 아이도 이전에 그 누구도 만들지 않았던 아름다운 미뉴에트 곡을 바로 작곡할 수 있다는 것을 상상해 보면, 음악 안에 숨어있는 수학적 비밀이 얼마나 멋지고 경이로운 것인지 새삼 느끼게 됩니다.

 

석준영(비센 학원장)