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기수법<Numeral System>

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작성자 석준영 쪽지보내기 메일보내기 홈페이지 자기소개 아이디로 검색 전체게시물 작성일16-06-16 10:58 조회236회 댓글0건

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[비센의 재미있는 과학 이야기]

 

항하사(恒河沙), 불가사의(不可思議) 등 오묘한 숫자 세계 - 새로운 세상 여는 열쇠

 

기수법(numeral system)이란 수를 기술하는 방법을 뜻합니다. 우리들이 쉽게 사용하고 있다시피, 현재 가장 많이 통용되는 기수법은 십진법입니다. 지금은 대부분 십진법을 사용하지만, 역사적으로 각 시대와 문명마다 다양한 기수법을 사용해 왔었고, 비록 지금은 잊혀져 있다하더라도 그 흔적이 여러곳에 남아 있는 기수법들도 많이 있습니다.

 

가장 단순한 기수법은 물론 숫자를 하나하나 다르게 표시하는 일진법(Unary numeral system)입니다. 반장 선거할 때 하나씩 그려나가던 우물정자(正)가 대표적인 일진법이라고 할 수 있습니다.

 

일진법 다음으로 단순한 수 체계는 이진법(binary system)이라고 할 수 있습니다. 0과 1로만 이루어진 이진법은 논리 조합이 간단하기 때문에 모든 컴퓨터의 연산방법에 사용되는 기수법으로 알려져있습니다.

 

특이한 것은 이진법은 고대문명으로부터 발달된 수 체계가 아니라 미적분학의 창시자로 유명한 독일의 수학자 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)에 의해서 개발된 수 체계입니다.

 

더욱 더 흥미로운 사실은 라이프니츠는 당시 중국 북경에 파견되었던 예수회 선교사들이 보내준 편지에 설명되어 있던 주역의 64괘에 대한 설명으로부터 이진법에 대한 아이디어를 얻었다고 전해지고 있습니다. 즉, ‘--‘, ‘—‘ 두 기호의 조합만으로 64개의 괘를 표현해 낸 방법으로부터 두개의 기호만으로 모든 자연수를 표현할 수 있다는 생각을 갖게 된 것입니다.

 

이진법과는 달리 대부분의 기수법은 각각의 독립된 문명에서 오랜 역사를 거쳐 탄생해왔습니다. 고대 바빌로니아에서 사용되었던 60진법은 아직도 시간 (60분, 60초) 등에서 사용되고 있는데, 이들은 당시 1년을 360일로 알고 있었고, 이를 기준으로 60진법을 사용한 것이라고 알려지고 있습니다.

 

60진법은 기원전 2000년경 메소포타미아 남부, 지금의 이라크 남부지역에 있었던 수메르(Summer) 지역에서 처음 사용된 것으로 알려져 있으며, 이 후 바빌로니아로 전파되었고, 함무라비 왕 시기에 그 표시방법이 정해진 것으로 추정되고 있습니다. 한국, 중국과 같은 동양문화권에서 십간(갑,을,병,…)과 십이지(자,축,인,…)를 이용하여 60갑자를 표현하는 것도 일종의 60진법이라고 할 수 있습니다.

 

십진법이 현재 가장 널리 사용되는 이유는 수를 셈하기 위해 우리가 쉽게 사용하는 손가락이 열개이기 때문이라고 추정됩니다. 손가락을 이용해 수를 세는 것이 가장 편한 방법이기에 역사적으로 십진법은 고대 이집트에서 처음으로 사용된 것으로 보이지만, 거의 모든 문명에서 고르게 사용된 기수법이며, 그로 인해 이를 전세계 공용 기수법으로 채택하게 된 것입니다.

 

이와 비슷하게 손가락과 발가락의 수를 모두 합쳐서 20을 수의 기본 단위로 사용했다고 보이는 이십진법은 고대 마야문명과 유럽지역에서 사용되었다고 알려져 있는데, 현재도 프랑스어에 보면 이십진법의 흔적이 남아있음을 볼 수 있습니다.

 

예를 들면 82라는 수를 프랑스어로 quatre-vingt-deux이라고 하는데, 이를 직역하면 네개의 20과 2라는 의미로 20을 기본단위로 하고 있는 기수법의 예라고 할 수 있습니다. 또 하나의 특이한 기수법은 캘리포니아 지역 원주민인 유키족이 사용한 것으로 알려져 있는 팔진법인데, 이는 이들이 수를 셈할 때 손가락 대신 손가락과 손가락 사이를 셌기 때문이라고 합니다.

 

앞서 말씀드렸듯이 십진법은 고대 이집트 문명에서 처음 발생된 기수법이지만, 지금의 십진법 표기 방법은 이집트 문명이 아닌 인도 문명에서 시작된 것으로 이것이 바로 현재 우리가 통용하고 있는 아라비아 숫자입니다. 비록 십진법의 기원은 이집트이지만, 현재 아라비아 숫자체계를 널리 이용하고 있는 중요한 이유중에 하나로 수학 역사학자들은 인도문명이 ‘없다’라는 의미의 ‘0’을 처음으로 사용할 줄 알았기 때문이라고 합니다.

 

기원전 2000년정도에 있었던 문명에서도 수를 사용한 흔적을 찾아볼 수 있지만, ‘0’이라는 숫자가 처음으로 등장하는 것은 7세기경 인도문명이니 인류가 숫자를 사용한 이후 ‘수가 없다’라는 개념을 인식하는 데까지 적어도 2000-3000년이상이 걸렸다는 것입니다.

 

지금 우리들이 기준으로는 쉽게 이해하기 힘든 부분일 수도 있지만, 당시 숫자라는 것은 물건이나 시간을 셈하기 위한 도구, 즉 오늘 잡아온 멧돼지가 몇마리이며, 몇 밤을 더 자면 보름달이 뜨는가와 같이 사용되었을 뿐이기 때문에 ‘없다’라는 개념이 존재하지 않았던 것입니다.

 

하지만,  ‘0’라는 개념을 숫자에 도입한다는 것은 단지 ‘없다’의 개념을 수의 체개에 집어넣은 것 뿐만 아니라, 존재하지 않는 수인 ‘음수(negative number)’를 이해할 수 있는 중요한 열쇠가 되었으며, 이것이 바로 수학이 인간의 논리적 사고를 위한 체계가 될 수 있었던 중요한 터닝포인트였다고 생각할 수 있습니다.

 

근대에 와서 동양문화가 서양문화에 비해서 수학이나 과학에 있어 두드러진 발전을 보이지 못한 이유중에 하나로 비교적 효율적이지 않았던 수체계 표기법을 드는 학자들도 더러 있기도 합니다.

 

이러한 견해에 동의여부는 차이가 있을 수 있겠지만 그 효율성을 접어두고 한국만의, 어쩌면 효율성이 떨어졌을 수는 있겠으나, 철학적이고 멋스러웠으며 독창적이었던 수 표기법을 이번 컬럼 말미에 잠시 소개해 드리고자 합니다.  

 

한국은 개화기 이후에 비로소 수의 체계를 공식적으로 아라비아 숫자체계로 바꾸었습니다.  그에 따라 아라비아 숫자를 한국어로 읽는 체계를 한자식, 그리고 순수 한국어식 두가지로 정했는데 우리가 잘 알고 있는 백, 천, 만, 억, 조와 같은 표기들 바로 이때 정해진 한자식 표기법이며 이들에 대한 한글식 표기는 온(백), 즈믄(천) 등이 있습니다.

 

이보다 더 큰 수를 표현하는 방법으로는 10의 44제곱을 재(載), 10의 48제곱을 극(極), 10의 52제곱을 항하사(恒河沙), 10의 64제곱을 불가사의(不可思議), 10의 68제곱을 무량대수(無量大數)라고 표기 합니다.

 

이들 표현은 대부분 불교적 의미에서 가져온 것들로서, 항하사란 인도 갠지스강의 모래알의 수만큼 많은 수란 의미이고, 불가사의란 말 그대로 도저히 헤아릴 수 없는 수를 뜻합니다.

 

이와 반대로 엄청나게 작은 수를 나타내는 말들도 있는데, 10의 18제곱분의 1을 나타내는 말이 찰나(刹那), 10의 20제곱분의 1을 나타내는 말은 허공(虛空), 그리고 10의 21제곱분의 1을 나타내는 말은 청정(淸淨)입니다.

 

매우 짧은 시간(찰나), 아무것도 없는 공간(허공), 순수하고 맑은 상태(청정) 등 일상에서 사용하는 단어들이 이처럼 세밀한 단위를 의미한다는 것이 매우 흥미롭습니다.  

 

물론 정확하지 않은 수의 표기법이 야기하는 문제점이 있기도 하겠지만, 그 의미들의 멋스러움과 그 말들에 포함된 철학적의미가 동양사상, 특히 한국문화의 깊이가 담긴 표현법이 아닐까 생각해 봅니다.

 

석준영.gif

석준영(비센 학원장)

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