[비센의 재미있는 과학 이야기] 도박의 비밀을 알면 성공적인 인생을 살 수 있다?

17세기 중반 프랑스의 귀족출신 도박사 드 메레(Antoine Gombaud, Chevalier de Mere, 1607-1684)는 주사위를 이용한 단순한 도박을 즐겨했습니다. 그는 주사위 하나를 네번 던져서 6이 적어도 한번 나오는 것과 주사위 두개를 스물 네번 던져서 동시에 두 주사위가 6이 되는 것이 한번이라도 나오는 것 중 어디에 돈을 걸 것인가라는 내기를 제안하고 사람들에게 돈을 걸게 했습니다. 얼핏 생각하면 스믈 네번, 즉 네번보다 무려 여섯배나 많은 찬스가 주어지는 두번째의 경우가 더 확률이 높다고 생각하기 쉽습니다. 덕분에 많은 사람들은 두번째에 돈을 걸었고, 경험적으로 첫번째의 경우가 더 이길 확률이 높다는 것을 알고 있는 드 메레는 쉽게 돈을 벌곤 했습니다. 단지, 경험적으로 알고 있었을 뿐, 왜 첫번째의 경우가 더 확률이 높은 것인지 궁금했던 드 메레는 친한 친구이자 유명한 수학자는 파스칼(Blaise Pascal, 1623-1662)에게 이를 설명해 달라고 부탁을 했습니다. 이 문제를 드 메레에게 설명해 주면서 흥미를 느낀 파스칼은 도박에 얽혀있는 더 많은 수학적 원리들에 흥미를 갖기 시작했고, 이를 당시 판사이자 수학자이었던 페르마(Pierre de Fermat, 1607-1665)와 함께 고민해보기 시작하면서 현대의 확률론이 학문적으로 발달하게 되는 시초가 되었습니다. 

드 메레의 도박 원리를 설명드려 보겠습니다. 주사위에는 여섯 개의 숫자가 있고, 정상적인 주사위라면 여섯면이 나올 확률은 모두 같기 때문에 주사위를 한번 던져서 6이라는 숫자가 나올 확률은 육분의 일(⅙)이 됩니다. 반대로 6이 나오지 않을 확률은 6이 나올 확률을 전체에서 빼면 되니, 1-(⅙) 즉 육분의 오(⅚)가 됩니다. 주사위를 네번 던졌는데, 네번 모두 6이 나오지 않을 확률은 (⅚)x(⅚)x(⅚)x(⅚)이 되며, 이를 전체(1)에서 빼면 네번의 기회중 적어도 한번 6이 나올 확률을 구할 수 있습니다. 그리고 이를 실제로 계산해 보면 0.5177, 즉 51.77%의 이길 확률을 갖는다는 것을 알 수 있습니다. 고작 1.77%밖에 안되지만, 반반의 확률 50%를 넘으니 도박을 반복하면 할 수록, 돈을 딸 확률이 높다고 할 수 있습니다. 하지만, 두번째의 경우는 두 주사위를 동시에 던지면 나올 수 있는 경우의 수가 6x6, 즉 서른 여섯가지나 되고, 그중에 단 한경우만이 6과 6이 동시에 나오는 경우이므로, 위와 비슷하게 계산해 보면 전체에서 (35/36)를 스물 네번 곱한 수를 뺀 값 1- (35/36)x(35/36)x….(35/36)=0.4914를 얻게 되며, 이는 돈을 딸 수 있는 확률이 49.14%라는 뜻입니다. 이는 50%보다 낮은 확률로서 내기를 거듭하면 거듭할 수록 돈을 잃을 확률이 높다는 결론을 얻게 됩니다. 여기서 주목할 사실은 51.77%, 49.14%는 둘 다 반반의 확률 50%에서 크게 다르지 않지만, 그에 의해서 도박의 성공여부가 결정된 다는 사실입니다. 다음의 예를 하나 더 들고 이 작은 차이의 엄청난 결과에 대해 다시 말씀드리겠습니다. 

캘리포니아 공과대학 수학과 오구리 교수(Hirosi Ooguri)는 자신의 책,”수학의 언어로 세상을 본다면” 이라는 책을 통해서 이 도박의 확률을 인생에 어떻게 적용할 수 있는가를 설명하고 있습니다. 이 책은 단순한 확률 공식들을 이용해 도박을 통해서 기본자금으로부터 목표 금액을 달성할 수 있는 확률을 보여줍니다. 본 칼럼은 크게 수학적인 지식이 없는 분들도 부담없이 읽으실 수 있게 쓰는 것이 목적이니 실제 공식을 이곳에서 설명드리지는 않겠습니다. 실제 공식이 궁금하신 분들은 오구리 교수의 책이나 웹사이트를 통해 확인하실 수 있습니다. 그의 공식을 이용하면, 이길 확률이 p, 질 확률이 q(=1-p)인 한번에 1 달러씩 걸 수 있는 도박을 통해 초기자금에서 시작해 목표 금액을 만들어 낼 수 있는 확률을 계산할 수 있습니다. 물론, 예상할 수 있듯이, 이길 확률과 질 확률이 정확하게 50%씩이라면 처음에 시작한 돈을 두배로 불릴 수 있는 확률과, 처음 돈을 완전히 탕진하고 빈털털이가 될 확률은 정확히 같습니다. 하지만, 이길 확률과 질 확률이 아주 조금만 차이가 나더라도 이야기는 완전히 달라집니다. 제가 직접 오구리 교수의 공식을 이용해서 계산해본 결과 이길 확률이 49.5%으로 0.5%만 낮아지고 질 확률이 50.5%로 0.5%만 높아져도 10달러의 돈을 갖고 시작해서 20달러를 만들어 낼 확률은 45%로 떨어집니다. 별로 떨어지지 않는 것 같지만, 초기 자금이 50달러로 높아져서 그 두배인 100달러를 만들어낼 확률은 26.9%로, 100달러로 시작해서 200달러를 만들어 낼 수 있는 확률은 고작 11.9%로 낮아져 버립니다. 그리고, 실제 카지노와 같은 도박업소들은 바로 이 작은 확률의 차이를 이용해서 사람들을 현혹시키고 돈을 벌어들입니다. 슬롯머신이나 룰렛과 같은 게임들이 게임을 하는 사람이 이길 확률이 49%나 된다고 어느 카지노 매장에서 광고를 한다고 가정해 봅시다. 49%면 50%에 매우 가까우니 이정도면 해볼만하다, 또는 그것도 사업이니 손님이 이길 확률이 50%를 넘게 해준다는 건 말이 안되지 않나, 상식적으로 49%정도면 엄청 해볼만 한것 같다라는 생각이 들게 마련입니다. 하지만, 위에 공식으로 계산해 봤을 때, 이 확률에서 100불을 가지고 도박을 시작해서 200불이 될 확률은 1.79%로 말도 안되게 떨어져 버립니다. 49%나 되는(?) 승률에서 돈을 못따는건 단지 운이 없어서니 더 많은 돈으로 더 오랜 시간 투자하면 언젠간 벌 수 있을 것이라는 희망을 갖지만, 수학의 결과는 그럴수록 더 많은 손해를 볼 수 밖에 없다는 것을 자명하게 보여주고 있습니다. 

일반적으로 도박과 확률에 대한 수학적 이야기는 이정도에서 역시 도박은 할 수록 돈을 잃게 되니 안하는 것이 좋다고 이야기하며 끝을 맺습니다. 하지만, 오구리 교수는 여기서 획기적인 반전을 이야기하며 매우 흥미로운 또 하나의 결론을 도출합니다. 그리고, 그 이야기는 ‘만약, 이길 수 있는 확률을 반반에서 조금이라도 올릴 수 있다면?’이라는 단순한 질문에서 시작됩니다. 공식을 이용해서 다시 계산을 해봤습니다. 이번에는 이길 확률을 0.5%올려 50.5%를 만들고 질 확률을 49.5%로 낮춰 보았습니다. 그 조그만 변화만으로 100불을 200불로 만들 수 있는 확률은 88%로 치솟고, 이길 확률 51%의 경우에는 확률이 무려 98.2%, 즉 왠만해서는 돈을 두배로 불리지 못하는 것이 불가능하다라는 결과를 얻게 됩니다. 물론, 안타깝게도 이 반전을 도박에 적용할 수는 없습니다. 그런 이길 확률을 갖고 있는 도박은 존재하지 않으니까요. 하지만, 오구리 교수는 이 이론을 우리의 인생에 적용해 설명을 합니다. 우리가 인생에서, 아니면 적어도 지금하고 있는 어떤 일에서 성공할 것인가 성공하지 못할 것인가는 도박에서 돈을 딸 것인가 아니면 잃을 것인가와 같은 이분법적인 문제입니다. 그리고, 이러한 성공여부는 아주 작은 여러 과정을 통해 이루어집니다. 이때 우리가 각각의 작은 스텝들을 잘 이루어낼 수 있는 확률을 조금만, 아주 조금만 높여 준다면 이것이 바로 한판의 도박에서 작은 돈을 딸 수 있는 확률을 조금 올려주는 것과 상응한다고 볼 수 있습니다. 그리고, 그 조그마한 변화가 전체 업무, 나아가 전체 인생을 성공으로 이끌 확률을 98%를 육박하게 끌어올릴 수도 있다는 결론을 얻게 됩니다. 

새 학기가 시작했습니다. 12학년에 올라가는 학생들은 원하는 대학, 원하는 학과에 진학하기 위해 각오를 다짐합니다. 무료하고 무언가 부족했던 그 동안의 생활을 반성하고 목표를 이루고자 원대한 계획을 세우기도 합니다. 학생들 뿐만이 아닙니다. 우리는 무언가를 꿈꾸고 목표를 세우면 무언가 큰 변화가 있어야 한다고 생각하기 쉽습니다. 그리고 그 변화를 쉽게 만들지 못하면 핑계거리가 생기기 시작합니다. ‘이런저런 것들은 내 지금의 상황에서 불가능한 것들이니, 애초부터 그것을 이루는 건 불가능이었을꺼야’라는 식으로 목표를 향해 다가가지 못한 자신을 위로합니다. 하지만, 우리의 원대한 꿈을 이룰 수 있게 만드는 원동력은 무언가 거대하고, 대단한 변화가 아니라 우리 일상의 아주 작은 변화에서부터 시작될 수 있다는 것을 오구리 교수는 단순한 확률 식을 통해 보여주고 있습니다. 원하는 무언가를 얻기 위해 우리에게 당장 필요한 것은 고가의 장비, 숙련된 기술, 엄청난 투자 등이 아니라 어쩌면 아주 사소한 변화일 수 있습니다. 매일같이 한시간정도 스마트폰을 내려놓고 책을 읽거나 산책하기, 허둥거리며 하루를 시작하지 않기위해 30분정도 일찍 일어나기, 3-4층정도는 엘리베이터를 기다리지 않고 걸어다녀보기 등 아주 작은, 하지만 우리에게 적어도 0.5%의 성공확률을 올려줄 수 있는 그리 어렵지 않은 변화들이 그 중요한 열쇠가 될 수도 있지 않을까 생각해 봅니다.