“천재를 넘어서는 사고력 키우는 수학 ”

 

 

지난 주에 쓴 칼럼에서 π(파이)가 어떻게 그리고 왜 만들어 졌는지를 찾아가면 그것을 처음 만든 사람의 사고력을 따라잡을 수 있다고 했습니다. 하지만 이 또한 파이라는 개념을 처음 만든 사람의 사고력까지일 뿐 그 이상은 넘어설 수 없게 됩니다. 그렇다면 공부에 있어서 어떻게 하면 이 사람들의 사고력까지 넘어설 수 있는 즉, 천재들 까지도 넘어설 수 있는 사고력을 키울 수 있을까요? 사람들이 중요하게 생각하는 수학이 과연 이러한 사고력을 늘리는데 쓰일 수는 있는 것일까요?

 

이전 칼럼에서 필자는 글쓰기에 대한 이야기를 했습니다. 그리고 좋은 글쓰기를 하는 방법으로 4단계의 중요한 과정들에 관해서 언급했습니다. 수학 공부도 마찬가지로 이 4가지 과정을 바탕으로 공부할 때 천재의 사고력을 넘어설 수 있습니다. 지금까지 예로 든 파이를 가지고 천재의 사고력을 넘어설 수 있는 수학 공부 방법을 이야기해 보겠습니다.

 

천재를 넘어서는 사고력을 기를 수 있는 수학 공부 방법

 

1단계 관찰

파이라는 것은 원이 있기에 존재하는 것입니다. 원이 존재하지 않는다면 파이도 존재하지 않았을 것입니다. 따라서 파이를 생각하기 이전에 원을 먼저 관찰해 보는 것이 첫 과정이라고 할 수 있습니다.

 

방법: 책에서 원을 찾거나 원을 종이에 그려 넣는다.

 

2단계 설명하기

 

1단계에서 관찰을 했으면 이제 관찰한 원을 설명해 봅니다. 아마 쉽지는 않을 것입니다. 몇 년에 걸친 학교 교육을 통해 관찰하고 설명하는 것을 익혀 왔음에도 불구하고 원이라는 간단해 보이는 모양도 설명을 하기 힘든 것이 교육의 현실입니다. 조금 어렵다고 하더라도 효과적인 두뇌 발달을 생각한다면 해야 하는 과정이기에 시도해 보시라고 제안합니다. 설명을 해 보셨으면 아래 필자의 설명과 비교하면서 다음 단계로 넘어가도록 하겠습니다.

 

원에 대한 필자의 설명

 

- 선이 끊어짐 없이 연결이 되었다.

- 각진 곳이 없고 둥글다.

- 원 안에서 원을 가로지르는 가장 긴 선을 그릴 수 있고 이렇게 그린 선들은 모두 원 중앙의 한 점을 지날 때 그 길이가 같다.

- 모든 선이 만나는 원 중앙의 점에서 원까지의 거리도 모두 같으며 가장 긴 직선의 1/2이다.

 

3단계 질문하기

 

이 단계는 앞의 2단계 보다 조금 더 어려울 것입니다. 따라서 필자의 질문을 읽어 보신 후 추가로 질문을 적어 보는 방법을 제안합니다.

- 원 안을 가로지르는 가장 긴 직선과 원의 둘레에는 어떤 관계가 있을까?

 

4단계 비교/실험하기 (그림 참조)

 

이제는 앞에서 한 질문에 대한 답을 찾기 위해 비교와 실험을 해 보는 단계입니다. 원을 가로지르는 가장 긴 직선과 원의 둘레를 비교하기 위해 아래와 같이 해 봅니다.

 

- 원 안에서 원을 가로지르는 가장 긴 직선의 길이가 1cm인 것과 2cm인 원을 두꺼운 종이 또는 나무 판 등에 그린다. (오차를 줄이기 위해 2개의 원을 사용)

- 두 원을 가위 등 도구를 이용해 자르고 원의 한 곳을 펜으로 표시한다.

- 큰 종이와 잉크를 준비한다.

- 1cm와 2cm 두 원 각각을 원 둘레에 잉크를 묻히고 펜으로 표시한 곳에서 시작하여 한 바퀴를 돌아 다시 시작한 위치에서 멈추도록 큰 종이 위에 굴린다.

- 두 원을 굴려 생긴 종이 위의 선을 자를 이용해서 각각 측정한다.

- 원을 가로지르는 가장 긴 직선이 1cm 인 것과 2cm 인 것의 둘레를 함께 기록하고 원을 가로지르는 가장 긴 직선과 원둘레의 비율을 각각 계산해 본다.

 

*** 원을 자르는 방법 대신 실을 이용해서 원의 둘레를 측정하는 방법도 있습니다. ***

 

여기까지 해 보셨다면 이제 원을 가로지르는 가장 긴 직선과 원 둘레의 비율이 평균을 내었을 때 약 3.14 정도라는 것을 알아내셨을 것입니다.

 

즉, 원을 가로지르는 가장 긴 직선의 길이가 1cm일 때 원의 둘레는 3.14 라는 것입니다. 그리고 이 비율은 직선의 길이가 2cm일 때도 적용이 된다는 것을 찾으실 수 있었을 것입니다.

 

물론 집에서 실험을 하는 경우에는 오차가 생길 수 있습니다. 약간의 오차가 있다고 하더라도 비율은 3.14와 비슷하게 구해 졌을 것입니다.

 

이제 일반화된 수식을 만들기 전에 마무리 작업을 합니다. 지금까지 적어 놓은 설명들을 이미 알려진 단어 (이름, 지식)로 바꿔 표현을 하는 것입니다.

 

- 원을 가로지르는 가장 긴 직선: 지름

- 지름이 지나면서 만나는 원 중간의 한 점: 원의 중심

- 원의 중심으로부터 원까지의 거리: 반지름

- 지금과 원둘레의 비율 (3.14): 파이

 

이렇게 수학용어를 쓰지 않고 설명을 해본 후 그 설명에 해당하는 단어들로 대체를 하고 나면 이제 남은 것은 이렇게 관찰한 것을 기호화시켜 ‘지름 x 3.14 (파이) = 원의 둘레’ 또는 ‘반지름 x 2 x 3.14 = 원의 둘레’와 같이 공식으로 표현하기만 하면 됩니다.

 

수학은 자연에서 관찰한 것을 수와 기호로 함축시켜 표시하는 것이라고 이야기했습니다. 원의 둘레를 계산하는 공식도 사실은 원을 관찰하고 지름과 원둘레의 규칙을 찾아내고 그 속에서 서로의 관계를 설명해 놓은 것이라고 볼 수 있습니다. 따라서 그 수식이 의미하는 것을 찾아서 이해하지 못한다면 단순히 공식만을 사용해 계산하는 컴퓨터와 같은 두뇌가 될 것입니다.

 

위에서와 같이 처음부터 아무 사전 지식 (지름 등과 같은 단어) 없이 관찰하고 설명하고 그 설명을 함축해서 나타낼 수 있을 때 사고력은 무한하게 발달할 수 있다는 것입니다. 그러나 사람들이 공통적으로 사용하는 단어들을 배제하고 무엇인가를 생각해 낸다는 것은 사람에 따라서 상당히 힘든 일일 수 있습니다.

 

이러한 경우에는 반대로 지식을 이용해서 접근하는 방법을 사용할 수도 있습니다. 이때 생각해야 하는 것은 바로 단어 또는 이름 (예, 지름, 반지름 등)이 내포하고 있는 의미를 찾아야 한다는 것입니다.

 

단어 (이름)는 단어일 뿐

 

지름이나 파이 등의 단어들 또한 사람들이 길게 설명해야 할 것을 함축시켜 놓은 개념일 뿐입니다. 따라서 주어진 이름이나 단어에 얽매이게 되면 사고를 확장시킬 수 있기보다는 반대로 그 단어에 의해 사고가 갇히게 된다는 것입니다. 따라서 수학 공부를 비롯한 모든 공부에서 가장 중요한 것은 주어진 단어를 익히고 외워서 사용하는 것이 아니라 주어진 단어의 근본 의미를 찾아갈 수 있어야 한다는 것입니다.

 

이런 방식으로 공부를 한다면 처음에는 공부가 상당히 더디게 느껴 질 것입니다. 하지만 어느 순간 단어의 개념들이 머릿속에 훤하게 그려지게 되면 공부는 쉽고 재미있어 질 수 있습니다. 그리고 이 방법은 책상에 앉아서만 할 수 있는 것이 아니라 생활 속에서 자녀와 부모가 함께 대화를 하면서 할 수 있는 공부 방법입니다.

 

아이가 ‘지름이 뭐야?’라고 묻는다면 단순히 동그라미를 그리고 선을 길게 그려 놓고 ‘이게 지름이야’ 라고 하기보다는 ‘원이 있을 때 원 안에서 원을 가로질러 직선을 그렸을 때 가장 긴 것을 지름이라고 해’와 같이 그림과 말로써 단어의 의미를 아이와 함께 찾을 때 아이는 부모와의 대화를 통해 자신이 궁금해 했던 것들에 대한 답을 찾는 방법을 익히면서 사고력을 늘려 나갈 수 있다는 것입니다.

 

이 방법은 앞의 지식을 배제하고 생각하는 공부 방법 보다 조금은 쉬울 수 있습니다. 하지만 단어가 가진 의미를 찾아간다는 것도 그리 쉽지만은 않을 것입니다. 왜 그럴까요? 사람들에게 지식으로서의 단어나 이름은 절대적인 개념으로 받아들여지기 때문입니다.

 

자녀가 ‘나무는 왜 나무라고 해?’ 또는 ‘산은 왜 산이라고 해?’라고 묻는다면 아마도 답은 ‘나무는 나무니까 나무고 산은 산이니까 산이지’라고 하실 분들이 많을 것입니다.

 

이는 ‘나무’ 그리고 ‘산’ 이라고 하는 이름 또는 단어들도 이미 사람들의 머릿속에는 변하지 않는 절대적인 개념으로 자리 잡았기 때문이라고 할 수 있습니다. 이렇게 단어나 이름이 절대적인 개념으로 자리 잡은 경우에는 사고력이 발달하는 것이 아니라 반대로 두뇌의 능력이 떨어지게 되면서 사고가 그 단어나 이름 속에 갇히게 된다는 것입니다. 그리고 이렇게 사고가 갇히게 된다면 논리적인 사고 즉, 인과의 법칙을 찾아가는 사고를 하기 어렵게 된다는 것입니다.

 

그렇기에 누군가가 ‘나무는 나무고 산은 산이다’라고 이야기 한다면 이 사람은 자신이 스스로 ‘나는 사고가 갇혀 논리적으로 눈앞의 현상을 제대로 관찰하거나 설명하지 못하는 사람이다’라고 이야기 하는 것과 같습니다. 그렇다면 사고력을 키우는 공부를 하는 사람은 어떻게 접근할까요?

 

필자가 몇 년 전 한 학생으로부터 ‘나무는 왜 나무라고 하나요?’라는 질문을 받은 적이 있습니다. 필자는 이 질문을 가지고 그날 언어의 시작과 왜 사람들이 단어나 이름을 절대적인 개념으로 받아들이게 되었는지를 찾아가는 내용으로 수업을 했던 것으로 기억합니다. 여러분께서는 아이들로부터 ‘나무는 왜 나무라고 해?’라는 질문을 받으면 어떻게 하시나요? 함께 답을 찾기 위해 아이와 함께 생각하고 찾아보고 실험/비교를 하시나요? 아니면 ‘나무는 나무야!’와 같이 나무를 나무라고 받아들이도록 우기면서 아이의 두뇌를 세뇌시키려 하시나요?

 

 

민동필

필자는 미 워싱턴 주립대에서 생화학 박사 학위를 받고 코넬대학의 의대인 웨일의과대학에서 박사 후 과정을 마쳤다. 이후 컬럼비아대학에서 연구원, 캐나다 국립연구소 연구원을 거쳤고 지금은 밴쿠버에서 교육연구소 ‘PonderEd’를 운영하고 있다. 민 박사의 ‘좋은 영어 글쓰기’와 ‘공부하는 방법’ 여름특강이 한인타운 인근 CLC교육센터에서 강의중이다. 문의처 : 604-838-3467 / clc911(카톡)

 

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