[비센의 재미있는 과학 이야기]

 

황금 비율의 오묘한 수수께끼, 아직도 우리들의 흥미 끌고 있어

 

한 쌍의 토끼가 매달 암수 한 쌍의 새끼를 낳고, 또 새로 태어난 토끼들도 태어난지 두 달이 지난 후에는 매달 암수 한 쌍의 토끼를 낳을 수 있다면, 1년이 지난 뒤에는 모두 몇 쌍의 토끼가 태어나게 될까요?

 

이 문제는 12세기 이탈리아의 수학자 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci, 1170-1250)가 정리한 Liber Abaci(Book of Calculation, 산술 교본)라는 수학 교과서에 나오는 문제입니다.

 

거의 900년이 지난 지금도 ‘수열(Sequences)’라는 수학 개념을 가르칠 때, 무조건 등장하는 이 문제는 가히 수학 역사에서 가장 유명한 문제 중 하나라고 할 수 있을 듯 합니다.

 

초등학교 수학 경시대회에도 단골로 등장하는 이 문제를 일단 풀어보자면, 처음의 암수 한 쌍 역시 새끼로부터 시작되기 때문에, 어미가 되기까지 첫 두달 동안은 한 쌍을 유지하고, 셋째 달에 새로운 한 쌍이 태어나 모두 두 쌍이 되고, 넷째 달에는 세 쌍의 토끼가 있으며, 다섯째 달에는 셋째 달에 태어난 암수 쌍으로부터도 새로운 한쌍이 태어나므로 총 다섯 쌍의 토끼가 태어나게 됩니다.

 

이렇게 태어난 암수 쌍의 숫자를 나열해 보면, 1,1,2,3,5,8,13, … 으로 이어지는 데, 이는 바로 앞의 두 숫자를 더하면 다음 숫자를 찾을 수 있는 패턴을 갖는 수의 나열로서 이렇게 이어지는 수열을 피보나치 수열(Fibonacci Sequence)라고 합니다.

 

즉, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 식으로 이어지는 일정한 패턴을 갖고 무한히 커지는 수의 모음을 나타내는 것입니다. 이 수열의 또 하나의 흥미로운 점은 이 수열에 있는 한 수를 바로 앞에 있는 수로 나눠서 나오는 비율을 살펴보면, 1/1=1, 2/1=2. 3/2=1.5, 5/3=1.666…, 등이 되는데, 이를 계속 계산해 보면 그 비율이 1.1618… 이라는 무한 소수에 계속 근접하는 것을 찾을 수 있습니다.

 

별 의미없어 보이는 이 숫가가 바로 수학 역사에 가장 오랜 기간 동안 회자되어 오고 있는 황금비율(Golden ratio)값입니다.

 

황금비율에 대한 역사는 기원전 3세기경 고대 그리스의 수학자 유클리드에서 시작됩니다. 초중고 시절에 배우는 기하학의 기본원리를 정리한 유클리드는 13권의 기하학에 관한 원론 중 제 6권에서 막대기를 두 조각으로 나누었을 때, 원래 막대기의 길이와 긴 쪽 부분 길이의 비율이 긴 쪽과 짧은 쪽 간의 비율과 정확히 일치한다면 그 때의 비율이 1:1.618…의 무한 소수값을 갖게 된다고 설명하고 있습니다.

 

이렇게 나누어진 조각의 비율을 인간이 가장 안정적으로 느끼는 비율이라고 하여 이를 황금비율이라고 부르며, 이 비율로 만들어진 사각형을 황금 사각형이라고 하는데, 역시 이러한 사각형을 인간이 가장 안정적으로 느끼기 때문이라고 합니다.

 

그리스의 파르테논 신전, 모나리자의 얼굴, 다비드 조각상 등 인간이 공통적으로 아름답다고 느끼는 많은 것들이 황금비율의 분할율을 갖고 있다고 알려져 있습니다. 이러한 이유로 현재 우리가 사용하고 있는 스마트폰의 화면 비율, 텔레비젼의 화면 비율들은 모두 이 황금비율의 근사값에 가까운 형태로 만들어지고 있으며, 회사의 로고를 만들 때, 유명한 건축물을 지을 때 등 황금비율은 많은 곳에서 고려되고, 또 적용되고 있습니다. 

 

그렇다면 인간은 왜 이 황금비율로 이루어진 것들을 안정적으로, 아름답다고 느끼는 것일까요? 사실 이에 대한 답은 아직까지도 분명치 않습니다.

 

그저 그 이유를 정확히 모르는 것이 아니라, 실제 황금비율이라는 것은 수학적인 이론일 뿐, 실제에 적용되는 경우를 모두 다 황금비율을 따라간다고 맹신하는 것은 옳지 않다라는 주장도 만만치 않습니다.

 

어떤 수학자는 실제 연구를 통해 인간은 1:1.6에서 1:1.7사이의 비율을 구분하지 못한다는 연구결과를 발표함으로써, 1:1.618…이라는 무한소수로 이루어진 비율을 정확히 따라가고자 한다는 것 자체가 신빙성이 없다고 주장하기도 합니다.

 

이러한 반대 주장에도 불구하고, 아직도 많은 사람들이 황금비율의 존재를 믿는 이유는 이러한 비율이 단지 인간의 느낌에서 뿐만이 아니라, 자연적으로 만들어지는 것들에서 찾아볼 수 있기 때문입니다.

 

인간의 팔의 길이를 어깨의 폭으로 나눈 비율, 사람의 키를 배꼽을 기준으로 나누었을 때의 비율, 손가락 마디간의 길이 비율 등 사람의 몸에서만도 많은 황금비율을 찾을 수 있고, 또 나뭇잎의 잎맥의 배열, 가지에 난 나뭇잎간의 간격, 대부분의 꽃들의 꽃잎의 개수, 달팽이, 소라 집의 나선 모양등 수많은 것들이 황금비율를 이루고 있는 것으로 알려져 있습니다. 

 

여기서 매우 흥미로운 점은 자연에서 황금비율을 따르는 대부분의 예는 효율성과 관련이 있다는 것입니다. 나무에서 잎사귀의 위치, 그리고 잎사귀면의 잎맥의 분포 등은 모두 나뭇잎을 포함한 나무 전체에 가장 효율적으로 물과 영양분을 분배하기 위한 최적의 구조와 관련이 있고, 사람의 신체 비율 역시 가장 효율적으로 몸을 가누기 위한 운동성과 관련이 있으며, 달팽이 집의 나선구조 역시 성장과정에서 최적의 크기를 효율적으로 만들어 내는 형성과정과 관련이 있습니다. 즉, 자연의 황금비율은 우연히 얻어진 것이라기 보다는 오랜 기간 진화를 통해서 최적의 형태를 갖게 된 것이고, 가장 효율적인 비율이 황금비율과 맞아떨어진 것이라고 해석해 볼 수 있습니다. 또한 인간은 이러한 자연에 적응해 살아가면서 본능적으로 이 효율적인 비율을 안정적이며, 아름다운 구조라고 인식하게 된 것이라고 해석해 볼 수 있을 듯 합니다.

 

물론, 앞서 말씀드렸듯이 아직도 그 과학적 이유에 대해서는 정확하게 설명되지 않고, 황금비율이라는 것 자체가 그저 수학적 이론일 뿐, 자연이 꼭 그 비율을 추구한다고 보기 어렵다고 주장하는 과학자, 수학자들도 많이 있기 때문에, 황금비율에 대한 하나의 결론을 내리기는 어렵습니다.

 

하지만, 적어도 전혀 연관성없어 보이는 여러가지 자연적 현상에서 비슷한 수학적 규칙을 찾아낼 수 있다는 것은 우리의 우주가 어떤 유기적인 법칙에 의해 이루어지고 있다는 것을 뒷받침하는 간접적 증거라 볼 수 있으며, 이러한 것들을 밝혀내고자 하는 것이 우리가 과학을 탐구하는 근본적인 이유가 아닐까 생각합니다.  

 

석준영(비센 학원장)